雪一片一片拼出你要的数字 - 孙群超
宸风信子 2018-08-31     18:02 来源: 原创
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  一片雪花引发的血案
  从小在南方长大,之后又在南加州上学,我对雪的向往是北方人难以想象的。所以在加拿大的惠斯勒滑雪场上,当我看到大雪纷扬的时候,旁边的加拿大小哥一脸无奈的看着一个傻子在雪地里乱滚。

  雪花辣么美,可是肉眼看是看不到它最美的样子的。

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  在显微镜下,雪花呈现的姿态千变万化。不过只要我们仔细观察,这些形态都离不开分形(fractal)这个基本构造方式。
  何谓分形?在这里我非常不道德的摘抄下百度百科的定义:一个粗糙或零碎的几何形状,可以分成数个部分,且每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状。不过这个仅仅是粗浅的定义,比较接地气,我们也好懂。分形其实是一个数学术语,那我要引用万能的Wikipedia了:In mathematics, a fractal is a detailed, recursive, and infinitely self-similar mathematical set whose Hausdorff dimension strictly exceeds its topological dimension and which is encountered ubiquitously in nature. 啊这句话说了啥?看不懂?那我就……不解释了因为我也看不懂哈哈哈……

  好吧,作为一个应用与计算数学专业的理工女,这个还是能看得懂滴,不过你们只要知道几个关键词就行了:detailed, 细节化的,recursive, 递归的,infinitely self-similar, 无限自相似的。然后你们应该都看懂了encountered ubiquitously in nature,也就是说在自然界是普遍存在的。不光是雪花,还有很多自然形成的图案也属于分形,下面我要开始放图了,密集恐惧症的童鞋赶紧退后:

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  最后一张看到的时候有木有恶心到?是不是像计算机模拟出来的外星生物?其实那是海胆……嗯我不吃海胆谢谢。
  说了这么多我们还是要回到数学哒。当然像Mandelbrot集合,Peano曲线,Lorenz吸引子等主题,我们就不讨论啦,我们就研究下Koch雪花好了。哦不,学习下前人关于Koch雪花的研究成果好了……如果下面这道题出现在高中考试中,可能大部分人要吐血吧……

  Koch雪花呢,构造方法很简单:一开始有一个正三角形,然后呢在每边各取三等分点并以中间的一小段为边长作一个小正三角形,这样重复直至无穷,使得图形越来越接近雪花的形状。(见下图)

雪一片一片拼出你要的数字 - 孙群超

  问题来了:如果重复无穷次,形成的图案的面积能够收敛嘛?极限是多少呢?换句话说,最后的图案面积是趋向某一个值还是趋向无穷?如果趋向某一个值,这个值是多少?
  那我们来假设第一个正三角形为T1,然后第二个形成的图案为T2,依此类推,第n个图案为Tn。首先我们来计算Tn的边长数Ln(不要问我为什么先算这个,待会你就知道啦)。
  T1 显然是3,T2呢,就是把T1每边割成了4个小线段,所以是L2=3*4=12。T3呢,也是把T2每边割成了4小段,所以是L3=3*4^2=48。根据递归法则,Tn 的边长数为 Ln=3*4^(n-1)
  现在呢,假设T1的面积S1为1,那么T2呢就是T1的面积再加上三边上多出来的三个小三角形的面积。每个小三角形的边长都是原来三角形的三分之一,所以根据相似三角形法则,每个小三角形的面积都是原来三角形面积的(1/3)^2=1/9 也就是九分之一。然后呢L1=3,所以S2=S1+3*(1/9)。T3呢依然是T2的面积加上12条边上多出来的小三角形的面积,所以S3=S2+3*4*(1/9)^2。那么根据这个规律,我们可以得出一般的推导式也就是Sn=Sn-1 + 3*4^(n-2)*(1/9)^(n-1)
  嗯到这边是不是感觉奇难无比?其实呢我们把它变个形就不复杂了。好,看我变形:
  Kn = Sn – Sn-1 = 3*4^(n-2)*(1/9)^(n-1) = (27/16)*(4/9)^n
  所以呢:
  Sn = (Sn – Sn-1) + (Sn-1 – Sn-2) + …+ (S2 – S1) + S1 = Kn + Kn-1 + … + K2 + S1
  也就是说,原来复杂的Sn表达式变成了Kn数列的求和。那Kn数列又是何方神圣呢?看到Kn表达式中的(4/9)^n嘛?这个显然就是我们熟悉的等比数列(geometric sequence…什么?你不熟悉?发出凉凉的声音……)
  然后呢我们开始求和吧!假设K2+K3+…+Kn = X,那么K2*(4/9)+K3*(4/9)+…+Kn*(4/9)=X*(4/9)=K3+K4+…+Kn+1 => X – X*(4/9) = K2 – Kn+1 => (5/9)*X = (27/16)*((4/9)^2-(4/9)^n+1) => X = (3/5)*(1-(4/9)*(n-1)) => Sn = 1 + (3/5)*(1-(4/9)*(n-1))
  显然,当n趋向于无穷的时候,Sn趋向于1+3/5 = 1.6,也就是说最后的图案的面积能够收敛,且极限为原图案面积的1.6倍。
  被计算吓的睡着的童鞋,可以醒来了^_^ 那么其实,我只是想说,大家一定要学会等比数列的通项公式以及求和公式,因为这个不论是中国高中还是美国高中,都是基础的数学知识点,大部分考试都涵盖了这个知识点。不过我相信大家一定都学会了吧,毕竟被那个海胆恶心过的印象还是很深刻的 -_-#
  那么quiz时间到了!(是的,这个是bonus 凸^-^凸)
  有这么一组数列: 4, -2, 1, -1/2, 1/4, …   那么全部项加起来和是多少?
大学出国留学的条件本科留学申请流程本科生出国留学条件 本文由 @宸风信子 原创发布于三立在线教育。未经许可,禁止转载。

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