「国际课程探索频道」“欧拉”大神教你解决微分方程
微雨画帘 2018-09-29     16:29 来源: 原创
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「国际课程探索频道」“欧拉”大神教你解决微分方程

  函数一直是令人头疼的问题,可无论是在AP、IB、还是Alevel中都有涉及到简单的微分方程的求解问题,今天的「国际课程探索频道」来带大家了解欧拉并用欧拉方法去预测函数,从而计算微分方程。那么今天给大家带来的课题是:如何使用欧拉方法值解微分方程?

第7期
微分方程的近似求解

Euler’s Method

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  莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ,1707年4月15日~1783年9月18日),瑞士数学家、自然科学家。

  欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把整个数学推至物理的领域。欧拉对数学的研究极其之广泛,因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。以下这些我们平时学习 ,数学过程中常遇到的符号都是由欧拉大神发明的。

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  那么好奇的同学肯定已经迫不及待地想要知道以如此传奇的数学家的名字命名的方法是什么呢?我们不要心急,在向你们狂轰乱炸一些新概念新知识之前,先让我们来复习一些你们已经知道的知识点。

  我们说函数(function)是用来描述自变量(independent variable,通常用x表示)与应变量(dependent variable,通常用y表示)之间的关系的。那么如果我们想知道x值的改变会引发多大的y值的改变的时候,我们就会引入改变率(rate of change)这个概念,我们也可以用

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  来表示,在这里三角符号是希腊字母d(delta),表示“改变量”的含义。举个例子,如果我们用x表示时间,y表示温度,那么如果9点到10点气温从20度上升到22度,则rate of change :

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  同时如果我们把x的改变量无线缩小,就变成了instantaneous rate of change。

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  瞬时改变量,学习过微积分的同学们会只知道其实这就是导数,用来形容在某一刹那y会随着x进行怎样的改变。
  在复习过这些问题之后让我们来想一下这样的一个问题:如果你和一个数学家玩猜谜游戏:猜函数。数学家告诉你一个函数的瞬时变化率
  也就是每个刹那y会随着x怎样改变,再告诉你某个x值对应的y值,你有没有办法猜出整个函数的对应关系呢?这样的问题被叫做微分方程问题(diffenretial equation)中的初值问题(initial value problem,IVP)。

举一个例子来假设!


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涉及公式以图片的形式展示

  在这里Euler’s method欧拉方法就是借助迭代(iteration)的思路来解决上面这个问题的,也就是不断地把之前的计算结果重新当做输入再次计算。因为我们知道新的兔子数量Pnew 总是由旧的兔子数量Pold 加上改变量:

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  得来的,在这里h也被叫做步长step size,可以理解为每一步向前预测的跨度(下1个月还是2个,3个月)。我们可以用关系式 :New value = old value + rate of change × step size 来表示。

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  图中可以看到我们通过前一个时间点的函数值以及变化率,预测(predict)了后一个时间点的函数值。以此类推我们可以把之后的情况都预测出来这就是最简单的欧拉方法,其本质是迭代(iteration)。所以上题中我们通过迭代有以下关系:p(0) = 100, p(1) = 100 + 0.2*100 =120,  p(2) = 120+0.2*120 = 144, ……p(12) = 892, p(24) = 7950,也就是p(t) = 100*(两年后会从原来的100只兔子变成将近8000只兔子呢)。同时我们也可以从图中注意到预测值和实际值是有误差(error)的(上题中实际上真实的函数关系是p(t) = 100,两年后会比8000只还要多很多哦)。例如下图中所示的这样:

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  上方曲线为实际解,下方曲线为用欧拉方法得到的数值解
  所以虽然Euler’s method 可以预测函数的行为,却并不够好,我们还有许多改进版的欧拉方法,例如Heun’s method 以及Runge-Kutta Method等等,感兴趣的同学可以自己了解一下。

  其实无论是在AP,IB,还是Alevel中都有涉及到简单的微分方程的求解问题。在这里欧拉方法是对微分方程问题的近似数值解,在考试当中的运用也常有出现。所以大家一定要掌握好这个简单易用的好方法

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小测验

  假设在2000年的时候美国的国债是5.6万亿美元,到了2001年的时候增长到了5.8万亿美元。如果用Euler’s method来估计美国国债的话,今年的美国国债应该是多少了呢?2020年估计应该又是多少呢?同学们算完了以后可以查查资料验证一下答案哟!

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结语
Conclusion

  这一篇详细具体且实用的文章你们掌握了吗?我们日常解题过程中遇到的重要公式符号都是由欧拉大神发明的,简单明了的讲欧拉方法是于预测函数,来迭代计算微分方程的近似求解,当然欧拉方法并不是十分完善,感兴趣的同学可以向樊傲宇老师学习欧拉2.0升级版的方法,三立已经为你量身打造了属于你的课程!

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